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Mathématiques

 

Les mathématiques (ou la mathématique) sont un ensemble de connaissances abstraites résultant de raisonnements logiques appliqués à des objets divers tels que les ensembles mathématiques, les nombres, les formes, les structures, les transformations, etc. ; ainsi qu'aux relations et opérations mathématiques qui existent entre ces objets. Elles sont aussi le domaine de recherche développant ces connaissances, ainsi que la discipline qui les enseigne.

Elles possèdent plusieurs branches telles que : l'arithmétique, l'algèbre, l'analyse, la géométrie, la logique mathématique, les probabilités, etc. Il existe également une certaine séparation entre les mathématiques pures et les mathématiques appliquées.

Les mathématiques se distinguent des autres sciences par un rapport particulier au réel car l'observation et l'expérience ne s'y portent pas sur des objets physiques ; les mathématiques ne sont pas une science empirique. Elles sont de nature entièrement intellectuelle, fondées sur des axiomes déclarés vrais ou sur des postulats provisoirement admis. Ces axiomes en constituent les fondements et ne dépendent donc d'aucune autre proposition. Un énoncé mathématique – dénommé généralement, après être validé, théorème, proposition, lemme, fait, scholie ou corollaire – est considéré comme valide lorsque le discours formel qui établit sa vérité respecte une certaine structure rationnelle appelée démonstration, ou raisonnement logicodéductif. Un énoncé qui n'a pas encore fait l'objet d'une démonstration mais qui est néanmoins considéré plausible est appelé conjecture.

Bien que les résultats mathématiques soient des vérités purement formelles, ils trouvent des applications dans les autres sciences et dans différents domaines de la technique. C'est ainsi qu'Eugene Wigner déclare que la « déraisonnable efficacité des mathématiques dans les sciences de la nature est une chose presque mystérieuse »^1,2.

Étymologie

Le mot « mathématique » vient du grec par l'intermédiaire du latin. Le mot μάθημα (máthēma) est dérivé du verbe μανθάνω (manthánô) (« apprendre »). Il signifie « science, connaissance » puis « mathématiques » de μαθὴματα ; il a donné naissance à l'adjectif μαθηματικός (mathematikos), d'abord « relatif au savoir » puis « qui concerne les sciences mathématiques ». Cet adjectif a été adopté en latin (mathematicus) et dans les langues romanes par la suite (« mathématique » en français, matematica en italien, etc.), ainsi que dans de nombreuses autres langues³.

La forme neutre de l'adjectif μαθηματικός a été substantivée en τα μαθηματικά (ta mathēmatiká) pour désigner les sciences mathématiques dans leur ensemble. Cette forme plurielle, utilisée par Aristote, explique l'usage du pluriel pour le substantif en latin chez Cicéron (mathematica) puis en français et dans certaines autres langues européennes.

L'usage du pluriel est un héritage de l'époque antique, où le quadrivium regroupait les quatre arts dits « mathématiques » : l'arithmétique, la géométrie, l'astronomie et la musique. Le singulier (« la mathématique ») est parfois employé en français, mais « le mot donne alors au contexte une teinte d'archaïsme ou de didactisme ». Toutefois, certains auteurs, à la suite de Nicolas Bourbaki, insistent sur l'utilisation du singulier, pour montrer l'uniformisation apportée par l'approche axiomatique contemporaine : Jean Dieudonné semble être le premier à avoir insisté sur ce point, et le vaste traité de Bourbaki (dont il est l'un des principaux rédacteurs) s'intitule Éléments de mathématique, tandis que, par contraste, le fascicule historique qui l'accompagne a pour titre Éléments d'histoire des mathématiques. Cédric Villani préconise l'utilisation du singulier pour affirmer l'unité du domaine⁴.

Dans l'argot scolaire, le terme « mathématiques » est fréquemment apocopé en « maths », parfois aussi écrit « math ».

Histoire

Il est probable que l'homme a développé des compétences mathématiques avant l'apparition de l'écriture. Les premiers objets reconnus attestant de compétences calculatoires sont les bâtons de comptage, tels que l'os d'Ishango (en Afrique) datant de 20 000 ans avant notre ère. Le développement des mathématiques en tant que connaissance transmise dans les premières civilisations est lié à leurs applications concrètes : le commerce, la gestion des récoltes, la mesure des surfaces, la prédiction des événements astronomiques, et parfois l'exécution de rituels religieux^{[réf. nécessaire]}.

Les premiers développements mathématiques concernaient l'extraction des racines carrées, des racines cubiques, la résolution d'équations polynomiales, la trigonométrie, le calcul fractionnaire, l'arithmétique des entiers naturels… Ils s'effectuèrent dans les civilisations akkadienne, babylonienne, égyptienne⁵, chinoise ou encore de la vallée de l'Indus.

Dans la civilisation grecque, les mathématiques, influencées par les travaux antérieurs et les spéculations philosophiques, recherchent davantage d'abstraction. Les notions de démonstration et de définition axiomatique sont précisées. Deux branches se distinguent, l'arithmétique et la géométrie. Au III^e siècle av. J.-C., les Éléments d'Euclide⁶ résument et ordonnent les connaissances mathématiques de la Grèce. Hypathie (née entre 355 et 370 - 415, Alexandrie), est la première mathématicienne dont la vie est bien documentée⁷.

Les mathématiques chinoises et indiennes (plus précisément de la vallée de l'Indus) sont parvenues en occident par la civilisation islamique à travers la conservation de l'héritage grec et l'interfécondation avec les découvertes, notamment en matière de représentation des nombres^{[réf. nécessaire]}. Les travaux mathématiques sont considérablement développés tant en trigonométrie (introduction des fonctions trigonométriques) qu'en arithmétique. L'analyse combinatoire, l'analyse numérique et l'algèbre polynomiale sont inventées et développées.

Durant la « renaissance du XII^e siècle », une partie des textes grecs et arabes sont étudiés et traduits en latin. Le savoir est unifié dans la scolastique, réconciliation du christianisme et de la philosophie d'Aristote, La scolastique est alors enseignée dans les universités européennes à partir du XIII^e siècle. La recherche mathématique se concentre en Europe.

Au XVI^e siècle se développe - avec notamment Pierre de La Ramée - l'idée qu'il existe une « science universelle » (mathesis universalis) sur laquelle il serait possible de fonder l'ensemble des connaissances. Parallèlement, la scolastique fondée sur une philosophie spéculative perd de son prestige et l'aristotélisme est battu en brèche, à l'occasion de la controverse ptoléméo-copernicienne du XVI^e au XVIII^e siècle, remettant en cause le postulat antique et médiéval selon lequel la Terre est au centre de l'univers physique (géocentrisme).

Au XVII^e siècle, Galilée se rend compte que les mathématiques sont un outil approprié pour décrire le monde physique, ce qu'il résume dans son ouvrage Il Saggiatore publié en 1623 (L'Essayeur en français) en affirmant que « le livre de l'Univers est écrit en langue mathématique ». Les mathématiques constituent donc, avec la démarche expérimentale, l'un des deux piliers du développement de la science moderne. Descartes voit dès 1629, dans les Règles pour la direction de l'esprit, les possibilités qu'offrent les mathématiques pour jouer ce rôle⁸. Descartes souligne, dans le Discours de la méthode, l'attrait des mathématiques, « à cause de la certitude et de l'évidence de leurs raisons ». Le calcul algébrique se développe alors à la suite des travaux de Viète et de Descartes. Newton^{N 1} et Leibniz, indépendamment, inventent le calcul infinitésimal.

Au cours du XVIII^e siècle et du XIX^e siècle, les mathématiques connaissent de forts développements avec l'étude systématique des structures, à commencer par les groupes issus des travaux de Galois sur les équations polynomiales, et les anneaux introduits par Dedekind. Wang Zhenyi, développe une théorie permettant de mieux comprendre les éclipses lunaires⁹.

Le XIX^e siècle voit avec Cantor et Hilbert le développement d'une théorie axiomatique sur tous les objets étudiés, soit la recherche des fondements mathématiques¹⁰. Ce développement de l'axiomatique conduira plusieurs mathématiciens du XX^e siècle à chercher à définir toutes les mathématiques à l'aide d'un langage, la logique mathématique.

Le XX^e siècle connaît un fort développement en mathématiques avec une spécialisation des domaines, et la naissance ou le développement de nombreuses branches (théorie de la mesure, théorie spectrale, théorie du chaos, topologie algébrique et géométrie algébrique, par exemple)^{N 2},^{N 3}. L'informatique a eu un impact sur la recherche. D'une part, elle a facilité la communication et le partage des connaissances, d'autre part, elle a fourni un outil appréciable pour la confrontation aux exemples. Ce mouvement a conduit à la modélisation et à la numérisation.

Domaines

Des découpages des mathématiques en deux, trois ou quatre domaines différents sont proposés : algèbre et analyse, ou bien algèbre, analyse et géométrie, ou bien algèbre, analyse, géométrie et probabilités. De tels découpages ne sont pas évidents et les frontières les séparant sont toujours mal définies. En effet, de nombreux résultats font appel à des compétences mathématiques variées. Le théorème de Fermat-Wiles^{N 4}, établi en 1994, en est un exemple. Bien que l'énoncé en soit formulé de manière dite arithmétique, la preuve nécessite de profondes compétences en analyse et en géométrie.

Domaines fondamentaux

L'algèbre est l'ensemble des méthodes mathématiques visant à étudier et développer les structures algébriques et à comprendre les relations qu'elles entretiennent entre elles. L'algèbre, au sens actuel, trouve historiquement ses origines dans la compréhension des équations polynomiales et dans les développements des méthodes de résolution : les recherches dans ces domaines ont suscité l'émergence des notions qui fondent la théorie des groupes, la théorie de Galois ou encore la géométrie algébrique.

En un sens très restrictif, l'analyse est la partie des mathématiques s'intéressant aux questions de régularité des applications d'une variable réelle ou complexe : on parle alors plus volontiers d'analyse réelle ou d'analyse complexe. En un sens élargi, elle englobe toutes les méthodes mathématiques qui s'y apparentent, et un certain nombre de méthodes pour comprendre et analyser les espaces de fonctions.

La géométrie tente de comprendre en premier lieu les objets dans l'espace, puis par extension s'intéresse aux propriétés d'objets plus abstraits, à plusieurs dimensions, introduits selon plusieurs approches, relevant autant de l'analyse que de l'algèbre.

Les probabilités tentent de formaliser tout ce qui relève de l'aléatoire. Bien qu'anciennes, elles ont connu un renouveau avec la théorie de la mesure.

Les statistiques consistent à recueillir, traiter et synthétiser un ensemble de données, généralement nombreuses.

Exemples de domaines transversaux

De nombreux domaines de recherche se situent transversalement par rapport au découpage donné ci-dessus :

• Les mathématiques discrètes (associées à l'essor de l'informatique) sont l'exemple le plus typique de découpage transversal car elles dressent un clivage dans presque toutes les branches des mathématiques (groupes finis, probabilités discrètes, géométrie discrète, optimisation linéaire en nombres entiers, nouvelles branches de l'algèbre : monoïdes, dioïdes…).
• La théorie des nombres (qui généralise l'arithmétique élémentaire) utilise tout autant des méthodes analytiques que des méthodes algébriques avancées, pour résoudre des problèmes qui peuvent souvent être énoncés de façon élémentaire.
• La topologie algébrique tend à associer à des objets géométriques de natures diverses des invariants de nature algébrique. Elle se situe donc à la frontière de la géométrie différentielle et de la géométrie algébrique. Toutefois, pour des objets géométriques présentant une certaine structure analytique, ces invariants algébriques peuvent parfois se définir ou se comprendre en faisant uniquement appel à des outils essentiellement d'analyse. La majeure partie de la recherche actuelle en topologie algébrique tend à oublier la structure topologique et à réduire les questions à des problèmes essentiellement d'algèbre.
• En un certain sens, les systèmes dynamiques se situent entre la géométrie, l'analyse et les probabilités. Ils tendent à comprendre de manière qualitative ce qui s'assimile à une loi d'évolution. Les objets étudiés relèvent de l'analyse (équations différentielles par exemple), des probabilités (itération d'une bijection mesurable), ou de la géométrie (espaces homogènes). Le traitement qui y est consacré fait l'objet d'interprétations essentiellement de nature géométrique, tout en utilisant des outils avancés d'analyse fonctionnelle, de théorie des processus, de géométrie différentielle, etc. Des résultats d'arithmétique peuvent aussi être obtenus par des considérations relevant des systèmes dynamiques.
• La géométrie différentielle se situe à la frontière de la géométrie et de l'analyse, et ce à plusieurs égards. La définition de ses objets d'étude fait appel aux théorèmes de calcul différentiel, mais l'étude elle-même est grande consommatrice d'analyse. Des liens entre géométrie différentielle et probabilités existent aussi.
• La géométrie algébrique est l'exemple d'un domaine en un sens strict à la rencontre de l'algèbre et de la géométrie. Elle trouve ses origines dans les travaux sur la résolution des équations cubiques. Le premier objet d'étude de la géométrie algébrique est la variété algébrique, lieu d'annulation d'équations polynomiales : il a une signification à la fois algébrique et géométrique. Ce domaine connut un fort développement au XIX^e siècle, avec notamment le théorème de Bézout. Les développements récents initiés par Alexandre Grothendieck connaissent de nombreuses applications en théorie des nombres, ce qui constitue la géométrie arithmétique.
• La théorie des opérateurs relève plutôt de l'analyse, ou encore de l'analyse fonctionnelle (par exemple, pour les problèmes de régularité des solutions d'équations aux dérivées partielles elliptiques, notamment le problème de Poisson). Mais cette théorie connaît de nombreuses applications en géométrie différentielle où le langage des opérateurs s'avère particulièrement adapté. Le développement de la théorie des opérateurs a fait appel à des méthodes de nature probabiliste, notamment pour ce qui s'appelle le calcul fonctionnel. Cette théorie trouve des extensions en géométrie non commutative. Les objets d'études se trouvent être des généralisations d'algèbres d'opérateurs.

Mathématiques appliquées et pures

On fait parfois la distinction entre mathématiques pures et mathématiques appliquées :

• Les mathématiques pures ont pour objectif le développement des connaissances mathématiques pour elles-mêmes sans aucun intérêt a priori pour les applications, sans aucune motivation d'autres sciences. L'objet de la recherche mathématique peut ainsi être une meilleure compréhension d'une série d'exemples particuliers abstraits, sur lesquels s'appuie et se développe la réflexion mathématique, la généralisation d'un aspect d'une discipline ou la mise en évidence de liens entre diverses disciplines des mathématiques.
• Au contraire, les mathématiques appliquées sont la mise en œuvre des connaissances mathématiques pour les besoins de formalisme d'autres sciences (physique, informatique, biologie, astrophysique…), et pour des applications industrielles (ingénierie par exemple). Elles tendent à développer ces outils mathématiques pour répondre à ces demandes, pour résoudre des problèmes posés en termes concrets.

En France, cette distinction structure souvent les équipes de recherche, sans forcément hypothéquer les possibilités d'interactions entre elles. Toutefois, la pertinence de cette distinction est remise en cause par un certain nombre de mathématiciens. L'évolution des domaines et de leurs objets d'étude peut également contribuer à déplacer une éventuelle frontière ou notion de séparation. Selon une boutade d'Ian Stewart, auteur de nombreux ouvrages portant sur les mathématiques populaires, dans son œuvre intitulée Mon cabinet des curiosités mathématiques, « La relation entre les mathématiciens purs et appliqués est fondée sur la confiance et la compréhension. Les mathématiciens purs ne font pas confiance aux mathématiciens appliqués, et les mathématiciens appliqués ne comprennent pas les mathématiciens purs »¹¹.Les mathématiques appliquées, en un sens mal définies, comprennent entre autres l'analyse numérique, les statistiques appliquées et la théorie de l'optimisation mathématique. Certains domaines de recherche des mathématiques sont nés à la frontière avec d'autres sciences (voir ci-dessous).

Philosophie

Les questions traditionnelles que se pose la philosophie au sujet des mathématiques peuvent se classer selon trois thèmes :

1. La nature des objets mathématiques : s'ils existent par eux-mêmes, ou bien s'ils sont des constructions mentales ? Quelle est la nature d'une Démonstration (logique et mathématique) ? Quels sont les liens entre la logique et les mathématiques ?
2. L'origine de la connaissance mathématique : d'où vient la vérité des mathématiques, et de quelle nature est-elle ? Quelles sont les conditions pour que des mathématiques existent, et leur lien avec l'homme ? Quels sont les impacts de la structure de la pensée humaine sur la forme et le développement des mathématiques actuelles ? Les limites qu'elle induit ?
3. La relation des mathématiques avec la réalité : quelle relation les mathématiques abstraites entretiennent-elles avec le monde réel ? Quels sont les liens avec les autres sciences ?

Les mathématiques sont parfois surnommées « reine des sciences ». Cependant, l'expression remonte à Carl Friedrich Gauss : Regina Scientiarum¹² et le mot scientiarium signifie en réalité « des connaissances ».

Fondements

Censément, les mathématiques utilisent la logique comme outil pour démontrer des vérités organisées en théories. Une première analyse laisse espérer qu'une utilisation puissante de cet outil tellement sûr, une réduction toujours plus poussée des bases, les axiomes, sur lesquelles s'échafaude l'édifice mathématique, finissent par mener à un corpus de faits incontestables. Plusieurs obstacles se dressent pourtant.

D'une part, en tant qu'activité humaine, les mathématiques s'éloignent du modèle d'une construction suivant scrupuleusement les lois de la logique et indépendante du réel. Citons un fait et un phénomène pour illustrer cela. Tout d'abord, les démonstrations que rédigent les mathématiciens ne sont pas formalisées au point de suivre en détail les lois de la logique, car cela est impossible en un temps raisonnablement court. Comme pour n'importe quelle science, l'acceptation de la véracité d'une démonstration, et donc d'un théorème, repose in fine sur un consensus de spécialistes au sujet de la validité de l'approximation de démonstration formelle proposée (voir La Structure des révolutions scientifiques de Thomas Samuel Kuhn). L'avènement de l'informatique a cependant changé la donne, au moins marginalement, puisque celle-ci permet de formaliser et de vérifier des démonstrations de plus en plus complexes¹³.

Cependant l'activité mathématique est loin de se réduire à la recherche de démonstrations et à la vérification de celles-ci. La confiance que la communauté mathématique place dans un de ses membres qui propose un résultat nouveau intervient dans la réception qu'aura ce résultat, et ce d'autant plus s'il est inattendu ou modifie la façon de voir les choses. On peut prendre pour exemple historique les controverses sur les géométries non euclidiennes au XIX^e siècle, durant lequel les travaux de Lobatchevski ont été largement ignorés ; ou bien, dans un autre ordre d'idée, la difficulté de la réception des travaux du jeune républicain Galois au début du même siècle, notamment par Cauchy¹⁴. La sociologie des mathématiques étudie de tels phénomènes (voir sociologie des sciences).

D'autre part, la solidité même des bases ne peut reposer sur les seules mathématiques. En effet les théorèmes d'incomplétude, démontrés par Kurt Gödel dans la première moitié du XX^e siècle, montrent que, contrairement à ce qu'espérait David Hilbert, il est impossible de réduire formellement les bases des mathématiques en un système dont la sûreté se démontre à partir de celles-ci, et cela entraîne que certaines propriétés considérées « vraies » resteront inaccessibles à la démonstration, quels que soient les axiomes choisis.

Enseignement

L'enseignement des mathématiques peut aussi bien désigner l'apprentissage des notions mathématiques fondamentales ou élémentaires de base que l'apprentissage et l'initiation à la recherche (enseignement supérieur des mathématiques). Suivant les époques et les lieux, les choix des matières enseignées et les méthodes d'enseignement changent (mathématiques modernes, méthode de Moore, éducation classique…). Dans certains pays, le choix des programmes scolaires dans l'éducation publique est fait par des institutions officielles. Malgré les contributions des mathématiciennes à travers les siècles, depuis la fin des années 1990, la National Science Foundation aux États-Unis note un déclin de la part relative des diplômes de premier cycle octroyés à des femmes en mathématiques ainsi que dans d'autres disciplines des « STGM » (Sciences, technologies, génie et mathématiques)¹⁵. Plusieurs associations œuvrent pour la promotion des femmes en mathématiques. Aux États-Unis, l'Association for Women in Mathematics est fondée en 1971 par Mary Gray, Alice T. Schafer et Lenore Blum. En France par exemple, l'organisme Femmes et Mathématiques est soutenue dès sa création en 1987 par Huguette Delavault.

Cédric Villani, dans une conférence TED, rappelle une difficulté importante que l'enseignement des mathématiques ne résoudra pas à lui seul : le processus d'une découverte mathématique ne relève pas lui-même des mathématiques¹⁶. George Pólya indiqua en revanche vers le milieu du 20^e siècle quelques techniques permettant de résoudre des problèmes existants, dans son livre Comment poser et résoudre un problème (« How to solve it »).

Vers la même époque quelques ouvrages proposaient d'acquérir les mécanismes de résolution par une multitude d'exercices proposés avec leur correction détaillée en regard. En France et pour les mathématiques, il y eut dans le secondaire les ouvrages de Pierre Louquet. Dans le monde anglophone et concernant un grand nombre de disciplines, la série des Schaum's Outlines (en) poursuit ce but.

Aujourd'hui, de nombreuses études permettent de comprendre les facteurs qui ont une influence sur l'enseignement des mathématiques. Des études menées dans des pays industrialisés ont montré que les enfants de parents plus instruits suivent davantage de cours de mathématiques et de sciences dans le deuxième cycle du secondaire et réussissent mieux^17,18,19. D’autres études qui comparent les multiples influences sur les performances des enfants en mathématiques ont constaté que c’est le niveau d’instruction des mères qui a l’effet le plus grand^20,21,22. Il a été montré qu’un statut socioéconomique plus élevé est associé à des scores supérieurs en mathématiques des garçons comme des filles. L’étude PISA 2015 a constaté qu’une augmentation d’une unité de l’indice PISA de statut économique, social et culturel se traduisait par une augmentation de 38 points de score en sciences et de 37 points en mathématiques¹⁷. Cette augmentation est peut-être liée au fait que les parents fournissent un supplément d’aide à l’apprentissage à l’école et à la maison, avec des attentes scolaires plus élevées, et des convictions moins traditionnelles concernant les rôles de genre et les parcours de carrière dans ces contextes²³. L’intérêt des enfants pour les STEM et leur réussite dans les STEM peuvent aussi être renforcés par les dispositions prises par les parents pour fournir un soutien éducatif, y compris un tutorat privé²⁴.

Une carence d'éducation mathématique induit chez les adolescents des niveaux d'inhibiteurs cérébraux réduits dans une zone clé pour le raisonnement et l'apprentissage. En effet, une étude montre que la pratique des raisonnements mathématiques chez l'adolescent augmente la concentration d'acide γ-aminobutyrique (GABA), un neurotransmetteur inhibiteur, crucial pour la plasticité neuronale, dans le gyrus frontal moyen, une zone du cerveau impliquée dans le raisonnement, la résolution de problème, la mémoire et l'apprentissage²⁵. Selon Roi Cohen Kadosh (en), professeur de neurosciences cognitives à l’université d'Oxford et un des auteurs de l'étude, « Tous les adolescents n’apprécient pas les mathématiques, nous devons donc rechercher des alternatives possibles, telles que l’entraînement à la logique et au raisonnement qui impliquent la même zone du cerveau que les mathématiques »²⁶.

Pratique

Activité de recherche

La recherche mathématique ne se limite pas qu'à la démonstration des théorèmes. L'une des méthodes les plus fructueuses de recherche mathématique est la mise en rapprochement de domaines a priori éloignés en mettant en lumière des phénomènes analogues (par exemple, la géométrie euclidienne et les équations différentielles linéaires). L'identification de phénomènes analogues peut conduire à vouloir adapter des résultats d'un domaine des mathématiques à un autre, à reformuler des éléments de démonstration en termes équivalents, à tenter une axiomatisation d'un objet (par exemple, ce pourrait être la notion d'espace vectoriel) qui regrouperait les deux domaines… Dans ce dernier cas, ce nouvel objet deviendrait alors un objet d'étude par lui-même. Dans certains cas, l'identification d'objets a priori différents devient nécessaire : le langage des catégories permet de faire ce genre de choses.

Une autre méthode de recherche est la confrontation aux exemples et aux cas particuliers. Cette confrontation peut permettre de réfuter des propriétés qu'on pensait ou espérait être vraies (conjectures). Au contraire, elle peut permettre de vérifier des propriétés ou d'amener à les formaliser. Par exemple, en géométrie riemannienne, l'étude des surfaces (donc des objets en dimension 2) et de leurs géodésiques a finalement conduit Anosov à formaliser le difféomorphisme d'Anosov, une transformation possédant d'intéressantes propriétés dynamiques.

Langage

Les mathématiques utilisent un langage qui leur est propre. Certains termes du langage courant, comme groupe, anneau, corps ou variété peuvent être empruntés et redéfinis pour désigner des objets mathématiques. Mais souvent des termes sont formés et introduits selon les besoins : isomorphisme, topologie, itération… Le nombre élevé de ces termes rend difficile la compréhension des mathématiques par les non mathématiciens.

Le langage mathématique s'appuie aussi sur l'usage de formules. Elles comportent des symboles, les uns en rapport avec le calcul propositionnel comme le connecteur binaire d'implication ⇒ {\displaystyle \Rightarrow } ou le connecteur unaire de négation ¬ {\displaystyle \neg } , d'autres en rapport avec le calcul des prédicats, comme le quantificateur universel ∀ {\displaystyle \forall } ou le quantificateur existentiel ∃ {\displaystyle \exists } . La plupart des notations utilisées au XXI^e siècle ont été introduites après le XVII^e siècle seulement.

Il existe un langage mathématique qui décrit les mathématiques. En ce sens, on dit qu'il s'agit d'un métalangage : il s'agit de la logique mathématique.

Rapport avec les autres sciences

Les mathématiques entretiennent des rapports particuliers avec toutes les sciences, au sens large du terme. L'analyse de données (interprétation graphique, données statistiques…) fait appel à des compétences mathématiques variées. Mais des outils avancés de mathématiques interviennent dans les modélisations.

Toutes les sciences dites dures, à l'exception des mathématiques, tendent à une compréhension du monde réel. Cette compréhension passe par la mise en place d'un modèle, prenant en compte un certain nombre de paramètres considérés comme causes d'un phénomène. Ce modèle constitue un objet mathématique, dont l'étude permet une meilleure compréhension du phénomène étudié, éventuellement une prédiction qualitative ou quantitative quant à son évolution future.

La modélisation fait appel à des compétences relevant essentiellement de l'analyse et des probabilités, mais les méthodes algébriques ou géométriques s'avèrent utiles.

Physique

Les mathématiques sont nées d'une volonté de compréhension de l'espace ambiant : la géométrie naît de la modélisation de formes idéalisées, et l'arithmétique des besoins des gestions des quantités. Astronomie et géométrie se sont longtemps confondues, jusque dans les civilisations islamiques. Les mathématiques et la physique, après s'être différenciées, ont gardé d'étroits liens. Dans l'histoire contemporaine de ces deux sciences, les mathématiques et la physique se sont influencées mutuellement. La physique moderne use abondamment des mathématiques, en faisant une modélisation systématique pour comprendre les résultats de ses expériences :

• Cette modélisation peut faire appel à des outils mathématiques déjà développés. Ainsi l'usage des métriques en géométrie différentielle est un outil essentiel sur lequel repose notamment la relativité générale, développée par le mathématicien Minkowski puis par le physicien Einstein. Cet usage est aussi utilisé dans les autres théories post-newtoniennes.
• Cette modélisation encourage les mathématiciens à s'intéresser davantage à telle ou telle structure mathématique pour les besoins de la physique.
• Cette modélisation demande parfois au contraire des outils mathématiques non encore développés et ouvre des nouvelles perspectives mathématiques. Ainsi, Isaac Newton a-t-il développé le calcul différentiel pour pouvoir écrire les lois (classiques) du mouvement ; s'intéressant à la diffusion de la chaleur dans les corps, Joseph Fourier découvre les séries qui portent son nom, porte ouverte sur la théorie de Fourier. Plus récemment, citons les problèmes de quantification géométrique, d'intégrales de Feynman, de polynômes de Donaldson…

Un domaine de recherche spécifique, la physique mathématique, tend précisément à développer les méthodes mathématiques mises à l'usage de la physique.

Le lien étroit entre mathématiques et physique se reflète dans l'enseignement supérieur des mathématiques. L'enseignement de la physique fait appel à des cours de mathématiques pour physiciens ; et il n'est pas rare que les cursus de mathématiques dans les universités incluent une initiation facultative à la physique.

Néanmoins, Albert Einstein est un des premiers à relativiser le domaine des mathématiques en rappelant que la physique en utilise plusieurs formes, au gré de ses besoins, et non une seule. Sa Théorie de la relativité générale utilise par exemple une géométrie non euclidienne formalisée par Minkowski. Il énoncera : « En tant que se rapportant à la réalité, la géométrie euclidienne n'est pas exacte. En tant qu'exacte, elle ne se rapporte pas à la réalité »²⁷. Yvonne Choquet-Bruhat est la première à apporter en 1952 la preuve mathématique de l'existence de solutions à l'équation d'Einstein²⁸.

Informatique

L'essor des techniques au XX^e siècle ouvre la voie à une nouvelle science, l'informatique^{N 5}. Celle-ci est étroitement liée aux mathématiques, de diverses manières : certains pans de la recherche en informatique théorique peuvent être considérés comme d'essence mathématique, d'autres branches de l'informatique faisant plutôt usage des mathématiques. Les nouvelles technologies de communication ont quant à elles ouvert la voie aux applications à des branches des mathématiques parfois très anciennes (arithmétique), notamment en ce qui concerne les problèmes de sécurité des transmissions : cryptographie et théorie des codes.

En contrepartie, les sciences informatiques influencent l'évolution moderne des mathématiques.

Les mathématiques discrètes forment un domaine de recherche actuel des mathématiques visant à développer les méthodes utilisées en science informatique, incluant la théorie de la complexité, la théorie de l'information, la théorie des graphes… Parmi les problèmes ouverts, citons notamment le célèbre P=NP en théorie de la complexité, qui fait partie des sept problèmes du prix du millénaire. Celui qui arrivera à décider si P et NP sont différents ou égaux recevra un montant de 1 000 000 USD.

L'informatique est également devenue un outil essentiel à l'obtention de nouveaux résultats (un ensemble de techniques connues sous le nom de mathématiques expérimentales) et même à la démonstration de certains théorèmes. L'exemple le plus connu est celui du théorème des quatre couleurs, démontré en 1976 à l'aide d'un ordinateur, car certains des calculs nécessaires sont trop complexes pour être réalisés à la main. Cette évolution bouleverse les mathématiques traditionnelles, où la règle était que le mathématicien puisse vérifier chaque partie de la démonstration. En 1998, la conjecture de Kepler semble avoir également été démontrée partiellement par ordinateur, et une équipe internationale a travaillé depuis sur la rédaction d'une preuve formelle, qui a été achevée (et vérifiée) en 2015.

En effet, si la preuve est rédigée de façon formelle, il devient alors possible de la vérifier à l'aide d'un logiciel particulier, appelé assistant de preuve. C'est la meilleure technique connue pour être (presque) certain qu'une démonstration assistée par ordinateur ne souffre d'aucun bug. En l'espace d'une trentaine d'années, le rapport entre les mathématiciens et l'informatique s'est donc complètement renversé : d'abord instrument suspect à éviter si possible dans l'activité mathématique, l'ordinateur est devenu au contraire un outil incontournable.

Biologie, chimie et géologie

La biologie est grande consommatrice de mathématiques et notamment de probabilités. La dynamique d'une population se modélise couramment par des chaînes de Markov (théorie des processus discrets) ou par des équations différentielles couplées. Il en va de même pour l'évolution des génotypes : le principe de Hardy-Weinberg, souvent évoqué en génétique, relève de propriétés générales sur les processus à temps discret (existence de lois limites). Plus généralement, la phylogéographie fait appel à des modélisations probabilistes. De plus, la médecine use de tests (statistiques) pour comprendre la validité de tel ou tel traitement. Un domaine spécifique de recherche à la frontière de la biologie est né : la biomathématique.

Depuis le début du XXI^e siècle, la chimie organique a fait appel à l'informatique pour pouvoir modéliser les molécules en trois dimensions : il s'avère que la forme d'une macromolécule en biologie est variable et détermine son action. Cette modélisation fait appel à la géométrie euclidienne ; les atomes forment une sorte de polyèdre dont les distances et les angles sont fixés par les lois d'interaction.

Les géologies structurales et climatologiques font appel à des modèles mêlant des méthodes probabilistes et analytiques, pour pouvoir prédire du risque de catastrophe naturelle. La complexité des modèles est telle qu'une branche de recherche est née à la frontière des mathématiques et de la géophysique, à savoir la géophysique mathématique. De même, la météorologie, l'océanographie et la planétologie sont grandes consommatrices de mathématiques car elles nécessitent des modélisations.

Sciences humaines

Le rapport des mathématiques avec les sciences humaines se fait essentiellement par les statistiques et les probabilités, mais aussi par des équations différentielles, stochastiques ou non, utilisées en sociologie, psychologie, économie, finance, gestion d'entreprise, linguistique…

La logique est depuis l'Antiquité l'une des trois grandes disciplines de la philosophie, avec l'éthique et la physique. Des philosophes comme Pythagore et Thales de Milet ont formalisé les célèbres théorèmes géométriques portant leur nom. « Que nul n'entre ici s'il n'est géomètre », était-il gravé sur le portail de l'Académie de Platon, pour qui les mathématiques sont un intermédiaire pour accéder au monde des Idées.

Notamment, les mathématiques financières sont une branche des mathématiques appliquées visant à la compréhension de l'évolution des marchés financiers et de l'estimation des risques. Cette branche des mathématiques se développe à la frontière des probabilités et de l'analyse et use des statistiques.

Beaucoup plus subtil est le cas de l'économie mathématique. Le postulat fondamental de cette discipline est que l'activité économique peut se comprendre à partir d'un axiome de nature anthropologique, celui de l'acteur individuel rationnel. Dans cette vision, chaque individu cherche par ses actions à accroître un certain profit, et ce de façon rationnelle. Cette sorte de vision atomiste de l'économie permet à celle-ci de mathématiser relativement aisément sa réflexion, puisque le calcul individuel se transpose en calcul mathématique. Cette modélisation mathématique en économie permet de percer à jour des mécanismes économiques qui n'auraient pu être découverts que très difficilement par une analyse « littéraire ». Par exemple, les explications des cycles économiques ne sont pas triviales. Sans modélisation mathématique, on peut difficilement aller au-delà du simple constat statistique ou des spéculations non prouvées. Toutefois, certains sociologues, comme Bourdieu, et même certains économistes, refusent ce postulat de l'homo œconomicus, en remarquant que les motivations des individus comprennent non seulement le don, mais dépendent également d'autres enjeux dont l'intérêt financier n'est qu'une partie, ou tout simplement ne sont pas rationnelles. La mathématisation est donc, selon eux, un habillage permettant une valorisation scientifique de la matière.

On assiste également au début du XX^e siècle, à une réflexion pour mettre les mouvements historiques en formule, comme le fait Nikolaï Kondratiev, qui discerne un cycle de base pour expliquer les phases d'expansion et de crise en économie politique, ou Nicolas-Remi Brück et Charles Henri Lagrange²⁹ qui, dès la fin du XIX^e siècle, ont amplifié leur analyse jusqu'à pénétrer dans le domaine de la géopolitique, en voulant établir l'existence, dans l'histoire, de mouvements de vaste amplitude qui mènent les peuples à leur apogée, puis à leur déclin³⁰.

Cependant une mathématisation des sciences humaines n'est pas sans danger. Dans l'essai polémique Impostures intellectuelles, Sokal et Bricmont dénoncent la relation, non fondée ou abusive, d'une terminologie scientifique, en particulier mathématique et physique, dans le domaine des sciences humaines. L'étude de systèmes complexes (évolution du chômage, capital d'une entreprise, évolution démographique d'une population…) fait appel à des connaissances mathématiques élémentaires, mais le choix des critères de comptage, notamment dans le cas du chômage, ou de la modélisation peut être sujet à polémique.

Écologie

L'écologie utilise également un grand nombre de modèles³¹ pour simuler la dynamique des populations, étudier des écosystèmes comme le modèle proie-prédateur, mesurer les diffusions de pollutions³² ou évaluer les changements climatiques issus du réchauffement³³. Ces outils permettent de communiquer sur des données chiffrées, pour éventuellement les critiquer ou les confronter entre elles. Se pose alors le problème de la validation de ces modèles, notamment dans le cas où les résultats peuvent influer sur des décisions politiques et où l'existence de modèles contradictoires entre eux permet aux États de choisir le plus favorable à leur décision³⁴.

Rapport avec l'astrologie, l'ésotérisme

Les mathématiques ont entretenu pendant longtemps des liens très étroits avec l'astrologie. Celle-ci, par le biais de thèmes astraux, a servi de motivation dans l'étude de l'astronomie. Des mathématiciens de renom furent également considérés comme des grands astrologues. On peut citer Ptolémée, les astronomes de langue arabe, Regiomontanus, Cardan, Kepler, ou encore John Dee. Au Moyen Âge, l'astrologie est considérée comme une science se rangeant dans les mathématiques. Ainsi Theodor Zwingler signale dans sa grande encyclopédie, concernant l'astrologie, que c'est une science mathématique traitant du « mouvement actif des corps en tant qu'ils agissent sur d'autres corps » et réserve aux mathématiques le soin de « calculer avec probabilité les influences [des astres] » en prévoyant leurs « conjonctions et oppositions »³⁵. Les théories astrologiques occidentales contemporaines se targuent de suivre des méthodes scientifiques. En particulier, l'astrologie statistique utilise les tests statistiques pour mettre en évidence d'éventuelles corrélations entre la position des astres et le devenir des hommes. Toutefois, ces études initiées par Choisnard et Gauquelin, menées à la marge de la recherche scientifique, n'ont, en date de 2009, pas été productives et n'ont réussi à donner aucune preuve recevable d'un lien de cause à effet.

Les mathématiques sont aussi une composante de l'ésotérisme. Très fréquemment, les mathématiciens eux-mêmes ont été tentés de trouver dans la figure ou le nombre un sens caché servant de clé dans la découverte du monde. Dans l'école pythagoricienne, chaque nombre a une signification symbolique et le serment des initiés se serait énoncé devant une tretraktys³⁶. De même Platon ne se contente pas d'énumérer les solides qui portent son nom il attribue à chacun d'eux une nature (eau, terre, feu, air, univers)³⁷. L'arithmosophie, la numérologie, la gématrie, l'arithmancie tentent, à travers des calculs sur les nombres, de trouver des significations cachées à des textes ou d'en extraire des propriétés prédictives. On retrouve cette fascination pour le nombre et la figure encore de nos jours où certains attribuent des vertus cachées à un pentacle ou un nombre d'or.

Au XXI^e siècle, ces disciplines ne sont plus considérées comme des sciences³⁸.

Impact culturel

Expression artistique

Les notes qui sonnent bien ensemble à une oreille occidentale sont des sons dont les fréquences fondamentales de vibration sont dans des rapports simples. Par exemple, l'octave est un doublement de fréquence, la quinte une multiplication par ³⁄₂.

Ce lien entre les fréquences et l'harmonie a été notamment détaillé dans le Traité de l'harmonie réduite à ses principes naturels de Jean-Philippe Rameau³⁹, compositeur baroque français et théoricien de la musique. Il repose en partie sur l'analyse des harmoniques (notées 2 à 15 dans la figure suivante) d'un son fondamental Do grave (noté 1), les premières harmoniques et leurs octaves sonnant bien entre elles.

Si la courbe tracée en rouge, qui suit les notes harmoniques, a une allure logarithmique, cela correspond au rapport entre deux phénomènes :

• d'une part, la représentation de la hauteur d'un son par notre système auditif qui est proportionnelle au logarithme de la fréquence du son (une fréquence double correspond toujours à la même « distance sonore » appelée octave) ;
• d'autre part, les fréquences harmoniques qui sont des multiples entiers de la fréquence fondamentale.

Les Occidentaux associent une certaine beauté aux figures symétriques. Une symétrie d'une figure géométrique est, intuitivement, l'existence d'un motif de la figure qui se répète suivant une règle précise, tout en étant partiellement transformé. Mathématiquement, une symétrie est l'existence d'une action non triviale d'un groupe, très souvent par isométrie, c'est-à-dire qui préserve les distances sur la figure. En d'autres termes, l'intuition de la règle est mathématiquement réalisée par le fait que c'est un groupe qui agit sur la figure, et le sentiment qu'une règle régit la symétrie est précisément dû à la structure algébrique de ce groupe.

Par exemple, le groupe lié à la symétrie miroir est le groupe cyclique à deux éléments, ℤ/2ℤ. Un test de Rorschach est une figure invariante par cette symétrie, de même qu'un papillon et plus généralement le corps des animaux, du moins en surface. Lorsqu'on dessine la surface de la mer, l'ensemble des vagues possède une symétrie par translation : bouger notre regard de la longueur séparant deux crêtes de vagues ne change pas la vue que l'on a de la mer. Un autre cas de symétrie, cette fois non isométrique et presque toujours seulement approximative, est celui présenté par les fractales : un certain motif se répète à toutes les échelles de vision.

Vulgarisation

La vulgarisation mathématique a pour objectif de présenter les mathématiques en un langage dénué de termes techniques. Comme l'objet d'étude des mathématiques n'a pas de réalité physique, la vulgarisation use souvent d'un vocabulaire imagé, et de comparaisons ou analogies non rigoureuses, pour faire sentir l'idée des développements mathématiques. Parmi les ouvrages qui se fixent ce but, citons Oh, les maths de Yakov Perelman et Le livre qui rend fou de Raymond Smullyan. Toutefois, les mathématiques font rarement l'objet de vulgarisation dans des journaux écrits ou télévisés.

• La revue Tangente, l'aventure mathématique est le principal magazine de vulgarisation mathématique édité en France.
• La revue Images des mathématiques, soutenue par le Centre national de la recherche scientifique (CNRS), relève également le défi. Elle fait découvrir au plus grand nombre la recherche mathématique contemporaine et son environnement.
• La revue Accromαth⁴⁰ est soutenue par l'Institut des sciences mathématiques et le Centre de recherches mathématiques de Montréal. Elle s'adresse principalement aux élèves et enseignants d'école secondaire et de cégep et est distribuée gratuitement au Québec.
• La revue en ligne Délibéré publie chaque semaine depuis décembre 2015 la chronique mathématique de Yannick Cras intitulée « Le nombre imaginaire »⁴¹.
• La revue Quadrature⁴² éditée chaque trimestre s'adresse aux enseignants, étudiants, ingénieurs et amateurs de mathématiques. Le niveau des articles est variable et certains sont accessibles dès la terminale scientifique ou la première année de licence. Les auteurs sont des mathématiciens, mais aussi des enseignants et des étudiants. Quadrature est éclectique : certains articles présentent des mathématiques toutes récentes, tandis que d’autres donnent un nouveau point de vue sur des sujets traditionnels ou encore ressuscitent des questions de géométrie ancienne.

Littérature et filmographie

Si nombre de biographies portent sur les mathématiciens, les mathématiques sont un thème certes peu exploité dans la littérature ou la filmographie, mais présent.

Romans

• Plusieurs livres de Denis Guedj, dont :

Films

Théâtre

Pièces de théâtre

• La Preuve de David Auburn, 2000 (Proof,  éd. Dramatist's Play Service, 2002)
• Denis Guedj, One zéro show : spectacle arithmétique en 0 acte et 1 tableau… blanc ; (suivi de) Du point… à la ligne : spectacle géométrique en ligne… et en surface, Paris, Éditions du Seuil, 2001, 61 p. (ISBN 978-2-02-037379-1, OCLC 48908950)
• L'affaire 3.14, Compagnie L'île logique (Cédric Aubouy)
• Galois Poincaré, mythes et maths, Compagnie L'île logique (Cédric Aubouy, David Latini)

Spécialistes de théâtre de sciences

• Le Théâtre scientifique de Louis Figuier, Fabienne Cardot, Romantisme, 1989
• Théâtre et sciences, Le double fondateur, Jacques Baillon, L'Harmattan, 1998
• La Recherche théâtrale dans un institut technologique et scientifique, Ouriel Zohar, dans Théâtre et Science,  éd. P^r Lucile Garbagnati, F. Montaclair et D. Vingler, Presses du Centre Unesco de Besançon et du Théâtre de l'Université de Franche-Comté, Besançon, 1998.
• Théâtre et matière, Les moteurs de représentation, Jacques Baillon, L'Harmattan, 2002
• Le Théâtre de sciences, Michel Valmer, CNRS Éditions, 2006
• Science on stage, from D^r Faustus to Copenhagen, Kirsten Sheperd-Barr, Princeton University Press, 2006.
• Le Modèle scientifique dans le théâtre de Tom Stoppard, Liliane Campos, dans Epistémocritique, Revue d'études et de recherches sur la littérature et les savoirs, vol. II, 2008
• L'île logique, théâtre et clowns sur la logique, les mathématiques et la physique théorique (CNRS, école Polytechnique), Cédric Aubouy. 2008.

Séries télévisées

• Numb3rs, série de Nicolas Falacci et Cheryl Heuton.
• Eureka, série télévisée créée par Andrew Cosby et Jaime Paglia.
• Stargate Universe, série télévisée créée par Brad Wright et Robert C. Cooper.

Notes et références

Notes

• Cet article est partiellement ou en totalité issu de la page « Déchiffrer le code: l'éducation des filles et des femmes aux sciences, technologie, ingénierie et mathématiques (STEM) [archive] » de UNESCO, le texte ayant été placé par l’auteur ou le responsable de publication sous la CC BY-SA 3.0 IGO [archive].

• Émilie du Châtelet demeure la seule personne à avoir traduit en français cet ouvrage et sa traduction est encore utilisée de nos jours (cf. Bio sur Futurascience [archive])
• Maryam Mirzakhani, connue pour ses travaux en topologie et en géométrie (notamment en géométrie des surfaces de Riemann), est la seule femme récipiendaire de la médaille Fields (13 août 2014).
• Mary Lucy Cartwright, mathématicienne britannique, est l'une des pionnières de ce qui sera connu plus tard comme la théorie du chaos.
• Lors de sa tentative révolutionnaire d’affronter le dernier théorème de Fermat, Sophie Germain démontre le théorème qui porte son nom – le théorème de Sophie Germain.

Références

• Max Tegmark (trad. Benoît Clenet), Notre univers mathématique : En quête de la nature ultime du Réel, Ekho, 2018 (EAN 978-2-10-077981-9), p. 569-570
• (en) E. Wigner, « The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences (en) », Commun. Pure Appl. Math., vol. 13, n^o 1,‎ 1960, p. 1-14 (lire en ligne [archive]).
• (en) The Oxford Dictionary of English Etymology, Oxford University Press.
• Cédric Villani, « "Tout est mathématique", conférence Honoris Causa de Cédric Villani à HEC Paris » [archive], sur youtube.com, 11 février 2015 (consulté le 17 décembre 2016), p. 1h33m27s
• (fr) Les mathématiques de l'Égypte ancienne. Numération, métrologie, arithmétique, géométrie et autres problèmes, 2014, Safran (éditions).
• (en) Euclid's Elements [archive] (site interactif).
• (en) « Hypatia of Alexandria » [archive], sur ABC Radio National, 17 février 1998 (consulté le 11 mars 2022)
• Michel Paty, mathesis universalis et intelligibilité chez Descartes [PDF] [archive].
• (en) Rachel Ignotofsky, Women in Science: 50 Fearless Pioneers Who Changed the World, Ten Speed Press, 2016, 128 p. (ISBN 1607749769), p. 12-13
• Conférence sur les fondements des mathématiques [archive], par Jean-Yves Girard, 17 juin 2002, Université de tous les savoirs.
• «Relations between pure and applied mathematicians are based on trust and understanding. Pure mathematicians do not trust applied mathematicians, and applied mathematicians do not understand pure mathematicians [archive]», in Professor Stewart's Cabinet of Mathematical Curiosities
• (en)Mathematics [archive], sur Crystalinks.com.
• (en)Voir le numéro spécial de décembre 2008 [archive] des Notices of the American Mathematical Society consacré à la démonstration formelle.
• Nicolas Bouleau, Actes du Groupe canadien d'études en didactique des mathématiques [PDF] [archive], page 24.
• (en) « Women, Minorities, and Persons with Disabilities in Science and Engineering: 2019 | NSF - National Science Foundation » [archive], sur ncses.nsf.gov (consulté le 14 mars 2022)
• [vidéo] TEDx Talks, TEDxParis 2012 - Cedric Villani - La naissance des idées [archive] sur YouTube, 25 octobre 2012 (consulté le 2 août 2020).
• (en) « PISA 2015 Results (Volume I) (Summary in Spanish) », PISA 2015 Results (Volume I),‎ 6 décembre 2016 (ISSN 1996-3777, DOI 10.1787/3a838ef3-es, lire en ligne [archive], consulté le 7 mai 2021).
• (en) Kathleen M. Jodl, Alice Michael, Oksana Malanchuk et Jacquelynne S. Eccles, « Parents' Roles in Shaping Early Adolescents' Occupational Aspirations », Child Development, vol. 72, n^o 4,‎ 2001-08-xx, p. 1247–1266 (ISSN 0009-3920 et 1467-8624, DOI 10.1111/1467-8624.00345, lire en ligne [archive], consulté le 7 mai 2021).
• Simpkins, S. D., David-Kean, P. et Eccles, J. S., « Math and science motivation: A longitudinal examination of the links between choices and beliefs. », Developmental Psychology, vol. 42, n^o 1,‎ 2006, p. 70-83 (DOI 10.1037/0012-1649.42.1).
• (en) E. C. Melhuish, K. Sylva, P. Sammons et I. Siraj-Blatchford, « THE EARLY YEARS: Preschool Influences on Mathematics Achievement », Science, vol. 321, n^o 5893,‎ 29 août 2008, p. 1161–1162 (ISSN 0036-8075 et 1095-9203, DOI 10.1126/science.1158808, lire en ligne [archive], consulté le 7 mai 2021).
• (en) Selcuk R. Sirin, « Socioeconomic Status and Academic Achievement: A Meta-Analytic Review of Research », Review of Educational Research, vol. 75, n^o 3,‎ 2005-09-xx, p. 417–453 (ISSN 0034-6543 et 1935-1046, DOI 10.3102/00346543075003417, lire en ligne [archive], consulté le 7 mai 2021).
• Déchiffrer le code : L’éducation des filles et des femmes aux sciences, technologie, ingénierie et mathématiques (STEM), Paris, UNESCO, 2017 (ISBN 978-92-3-200139-9, lire en ligne [archive]), p. 47.
• (en) Harriet R. Tenenbaum et Campbell Leaper, « Parent-child conversations about science: The socialization of gender inequities? », Developmental Psychology, vol. 39, n^o 1,‎ 2003, p. 34–47 (ISSN 1939-0599 et 0012-1649, DOI 10.1037/0012-1649.39.1.34, lire en ligne [archive], consulté le 7 mai 2021).
• Déchiffrer le code : L'éducation des filles et des femmes aux sciences, technologie, ingénierie et mathématiques (STEM), Paris, UNESCO, 2017 (ISBN 978-92-3-200139-9, lire en ligne [archive]).
• (en) George Zacharopoulos, Francesco Sella et Roi Cohen Kadosh, « The impact of a lack of mathematical education on brain development and future attainment », Proceedings of the National Academy of Sciences, vol. 118, n^o 24,‎ 15 juin 2021 (DOI 10.1073/pnas.2013155118, lire en ligne [archive], consulté le 17 août 2021).
• « Les maths au lycée : primordiales pour la santé cérébrale » [archive], sur Destination Santé, 15 novembre 2021.
• Albert Einstein, La Géométrie et l'expérience, conférence berlinoise de 1921
• (en) Yvonne Choquet-Bruhat, General Relativity and the Einstein Equations, OUP Oxford, 2009 (ISBN 978-0-19-923072-3, présentation en ligne [archive])
• Notice sur Charles Lagrange [archive] par André Jaumotte (Université libre de Bruxelles), sur le site de l'Académie royale de Belgique
• Dictionnaire en économie et science sociale, Ed.Nathan Paris, dictionnaire Larousse en 3. vol, Paris. Les définitions des cycles sont nombreuses, entre autres, en sciences: évolution de systèmes qui les ramènent à leur état initial ou, en sociologie, mouvement(s) récurrent(s) d'activité(s) politique(s) et économique(s).
• Voir par exemple Anne Laurent, Roland Gamet, Jérôme Pantel, Tendances nouvelles en modélisation pour l'environnement, actes du congrès «Programme environnement, vie et sociétés» 15-17 janvier 1996, CNRS
• Nicolas Bouleau, Philosophie des mathématiques et de la modélisation : Du chercheur à l'ingénieur, l'Harmattan, 1999, p. 282-283
• Bouleau 1999, p. 285.
• Bouleau 1999, p. 287.
• Guy Beaujouan, « Comprendre et maîtriser la nature au Moyen Âge », Hautes Études Médiévales et Modernes, Vol.13, Librairie Droz, 1994, p. 130 [archive]
• A. Dahan-Dalmedico et J. Peiffer, Une histoire des mathématiques : Routes et dédales, 1986 [détail des éditions], p. 47.
• Platon, Le Timée, 53 c - 56c
• « L’astrologie à l’épreuve : ça ne marche pas, ça n’a jamais marché ! - Afis - Association française pour l'information scientifique » [archive], sur pseudo-sciences.org (consulté le 3 février 2016)
• Jean-Philippe Rameau, Traité de l'harmonie, Paris, Méridiens Klincksieck, coll. « Collection de musicologie », 1986 (1^re éd. 1722), 432 p. (ISBN 978-2-86563-157-5)
• http://accromath.uqam.ca/ [archive]
• Yannick Cras, « Le nombre imaginaire », délibéré,‎ depuis décembre 2015 (lire en ligne [archive], consulté le 22 avril 2017)

Annexes

Bibliographie

• Alain Bouvier, Michel George, François Le Lionnais et Irène Bros, Dictionnaire des mathématiques, Puf, coll. « Dictionnaires Quadrige », 1056 p. (ISBN 978-2-13-081455-9, présentation en ligne [archive])
• Institut Henri-Poincaré, Objets mathématiques, CNRS, 2017
• Carina Louart, Florence Pinaud, C'est mathématique! Actes Sud Junior, 2014
• Jean-Pierre Escofier, Histoire des mathématiques, Dunod, 2008
• Jean-Marc Buret, Les maths expliquées simplement - Les bases dépoussiérées et le plaisir de comprendre, Ellipses 2019 (ISBN 9782340031777)

Articles connexes

• Encyclopædia of Mathematics
• MathWorld, ressources en mathématiques, en anglais
• PlanetMath, encyclopédie collaborative, en anglais, avec GFDL
• Maturité mathématique
• Géométrie
• Logique
• Algèbre
• Construction du nombre chez l'enfant (psychologie du développement)
• Enseignement des mathématiques
• Logique et raisonnement mathématique
• Liste de mathématiciennes
• Liste de prix internationaux de mathématiques

Liens externes

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Géométrie

 

Étymologie

Le terme géométrie dérive du grec de γεωμέτρης (geômetrês) qui signifie « géomètre, arpenteur » et vient de γῆ (gê) « terre » et μέτρον (métron) « mesure ». Ce serait donc « la science de la mesure du terrain ».

Grandes divisions de la géométrie

Géométrie classique

Sans qualificatif particulier et sans référence à un contexte particulier (par opposition à la géométrie différentielle ou la géométrie algébrique), la géométrie ou encore géométrie classique englobe principalement :

• la géométrie euclidienne, qui est l'étude de l'espace usuel avec les notions de distance et d'angle ;
• la géométrie affine, qui est l'étude des points et des droites, mais sans les notions de distance et d'angle ;
• la géométrie projective, qui ajoute aux espaces de la géométrie affine des points à l'infini ;
• la géométrie non euclidienne, qui est une variante de la géométrie euclidienne et n'en diffère que par la modification de l'énoncé du cinquième postulat d'Euclide. Cette géométrie est contraire à l'intuition usuelle. Elle comprend la géométrie hyperbolique, la géométrie elliptique et la géométrie sphérique.

Les géométries ci-dessus peuvent être généralisées en faisant varier la dimension des espaces, en changeant le corps des scalaires (utiliser des droites différentes de la droite réelle) ou en donnant une courbure à l'espace. Ces géométries sont encore dites classiques.

Par ailleurs, la géométrie classique peut être axiomatisée ou étudiée de différentes façons :

• la géométrie d'incidence et la géométrie synthétique (ou géométrie pure), qui utilisent une approche axiomatique ayant généralement comme données premières les points, les droites, les plans, ainsi que les relations qui les gouvernent et les grandeurs qui leur sont associées ;
• la géométrie analytique, qui utilise les coordonnées et qui associe à chaque point des triplets (ou une suite de longueur donnée) d'éléments d'un corps ;
• l'algèbre linéaire, qui généralise la géométrie analytique en remplaçant l'utilisation des coordonnées par celle des espaces vectoriels abstraits ;
• la géométrie des groupes, qui étudie les actions de groupe et leurs invariants. C'est là le programme d'Erlangen de Felix Klein. On s'intéresse particulièrement aux groupes (abstraits, algébriques ou de Lie) classiques, c'est-à-dire aux groupes liés aux groupes linéaires, orthogonaux, unitaires ou symplectiques, et a leurs espaces homogènes classiques (espaces symétriques, variétés de drapeaux, par exemple). La théorie des invariants est intimement liée à cet aspect de la géométrie : elle permet d'associer à des configurations des quantités (birapports, distances, angles, etc.) qui permettent de classer les orbites. On peut aussi étendre cette approche à la géométrie des groupes exceptionnels (algébriques ou de Lie) ;
• la théorie des immeubles de Tits, qui est liée à la géométrie des groupes classiques et exceptionnels (algébriques ou non), et qui étudie des structures combinatoires liés aux diagrammes de Coxeter. Par exemple, l'ensemble de toutes les chaînes de sous-espaces vectoriels d'un espace vectoriel de dimension finie sur un corps est un immeuble, et l'ensemble de toutes les chaînes de sous-espaces projectifs d'un espace projectif P de dimension finie sur corps commutatif qui sont inclus dans une même quadrique projective de P est un immeuble.

Il est remarquable que l'algèbre linéaire (espaces vectoriels, formes quadratiques, formes bilinéaires alternées, formes hermitiennes et antihermitiennes, etc.) permette de construire des modèles explicites de la plupart des structures rencontrées dans ces géométries. Cela confère donc à la géométrie classique une certaine unité.

Autres types de géométries

Il y a des branches des mathématiques qui sont issues de l'étude des figures des espaces euclidiens, mais qui se sont constituées en branches autonomes des mathématiques et qui étudient des espaces qui ne sont pas nécessairement plongés dans des espaces euclidiens :

• la topologie ;
• la géométrie différentielle, qui utilise l'analyse, la topologie et l'algèbre linéaire, et qui étudie des espaces qui, localement, sont des espaces euclidiens, et sur lesquels on peut faire du calcul différentiel et du calcul intégral. La géométrie différentielle englobe la géométrie riemannienne et la géométrie symplectique ;
• la géométrie algébrique, qui utilise l'algèbre abstraite et la topologie et qui étudie des espaces qui, localement, sont des ensembles de points définis par des équations algébriques, tels les sous-espaces affines, les coniques et les quadriques ;
• la géométrie non commutative.

Les différents espaces de la géométrie classique peuvent être étudiés par la topologie, la géométrie différentielle et la géométrie algébrique.

Conception de la géométrie

La géométrie admet de nombreuses acceptions selon les auteurs. Dans un sens strict, la géométrie est « l'étude des formes et des grandeurs de figures »¹. Cette définition est conforme à l'émergence de la géométrie en tant que science sous la civilisation grecque durant l'époque classique. Selon un rapport de Jean-Pierre Kahane², cette définition coïncide avec l'idée que se font les gens de la géométrie comme matière enseignée : c'est « le lieu où on apprend à appréhender l'espace ».

En 1739, Leonhard Euler étudie le problème des sept ponts de Königsberg ; ses travaux sont considérés comme l'un des premiers résultats de géométrie ne dépendant d'aucune mesure, des résultats qu'on qualifiera de topologiques. Les questions posées durant le XIX^e siècle ont conduit à repenser les notions de forme et d'espace, en écartant la rigidité des distances euclidiennes. Il a été envisagé la possibilité de déformer continûment une surface sans préserver la métrique induite, par exemple de déformer une sphère en un ellipsoïde. Étudier ces déformations a conduit à l'émergence de la topologie^{[réf. nécessaire]} : ses objets d'étude sont des ensembles, les espaces topologiques, dont la notion de proximité et de continuité est définie ensemblistement par la notion de voisinage. Selon certains mathématiciens, la topologie fait pleinement partie de la géométrie, voire en est une branche fondamentale. Cette classification peut être remise en cause par d'autres.

Selon le point de vue de Felix Klein (1849-1925), la géométrie analytique « synthétisait en fait deux caractères ultérieurement dissociés : son caractère fondamentalement métrique, et l'homogénéité »³. Le premier caractère se retrouve dans la géométrie métrique, qui étudie les propriétés géométriques des distances. Le second est au fondement du programme d'Erlangen, qui définit la géométrie comme l'étude des invariants d'actions de groupe.

Les travaux actuels, dans des domaines de recherche portant le nom de géométrie, tendent à remettre en cause la première définition donnée. Selon Jean-Jacques Szczeciniarcz⁴, la géométrie ne se construit pas sur « la simple référence à l'espace, ni même [sur] la figuration ou [sur] la visualisation » mais se comprend à travers son développement : « la géométrie est absorbée mais en même temps nous parait attribuer un sens aux concepts en donnant par ailleurs l'impression d'un retour au sens initial ». Jean-Jacques Sczeciniarcz relève deux mouvements dans la recherche mathématique qui a conduit à un élargissement ou à un morcellement de la géométrie :

• la procédure d'idéalisation consistant à montrer l'importance d'une structure en l'ajoutant aux objets mathématiques déjà étudiés ;
• au contraire, la procédure de thématisation consistant à dégager une nouvelle structure sous-jacente à des objets géométriques déjà étudiés.

Dans le prolongement, la géométrie peut être abordée non plus comme une discipline unifiée mais comme une vision des mathématiques ou une approche des objets. Selon Gerhard Heinzmann⁵, la géométrie se caractérise par « un usage de termes et de contenus géométriques, comme « points », « distance » ou « dimension » en tant que cadre langagier dans les domaines les plus divers », accompagné par un équilibre entre une approche empirique et une approche théorique.

Histoire

L'invention de la géométrie remonte à l'Égypte antique⁶.

Géométrie classique

Pour Henri Poincaré⁷, l’espace géométrique possède les propriétés suivantes :

1. Il est continu ;
2. Il est infini ;
3. Il a trois dimensions ;
4. Il est homogène, c’est-à-dire que tous ses points sont identiques entre eux ;
5. Il est isotrope, c’est-à-dire que toutes les droites qui passent par un même point sont identiques entre elles.

Les géométries euclidienne et non euclidienne correspondent à cette définition stricto sensu de l'espace. Construire une telle géométrie consiste à énoncer les règles d'agencement des quatre objets fondamentaux : le point, la droite, le plan et l'espace. Ce travail reste l'apanage de la géométrie pure qui est la seule à travailler ex nihilo.

Géométrie plane

La géométrie plane repose d'abord sur une axiomatique qui définit l'espace ; puis sur des méthodes d'intersections, de transformations et de constructions de figures (triangle, parallélogramme, cercle, sphère, etc.).

La géométrie projective est la plus minimaliste, ce qui en fait un tronc commun⁸ pour les autres géométries. Elle est fondée sur des axiomes :

1. D'incidence (ou d'appartenance) dont la caractéristique la plus notable (et la plus singulière) est : « Deux droites distinctes coplanaires possèdent un unique point commun. » ;
2. D'ordre : permet notamment d'ordonner les points d'une droite. De ce point de vue, une droite projective s'apparente à un cercle car deux points définissent deux segments ;
3. De continuité : ainsi, dans tout espace géométrique, l'on peut joindre un point à un autre par un cheminement continu. En géométrie euclidienne, cet axiome est l'axiome d'Archimède.

Parallélisme

Distinguer dans la géométrie projective des éléments impropres caractérise la géométrie arguésienne. Puis la géométrie affine naît de l'élimination de ces éléments impropres. Cette suppression de points crée la notion de parallélisme puisque désormais certaines paires de droites coplanaires cessent d'intersecter. Le point impropre supprimé est assimilable à la direction de ces droites. De plus, deux points ne définissent plus qu'un segment (celui des deux qui ne contient pas le point impropre) et rend familière la notion de sens ou orientation (c'est-à-dire, cela permet de distinguer A B ¯ {\displaystyle \scriptstyle {\overline {AB}}} de B A ¯ {\displaystyle \scriptstyle {\overline {BA}}} ⁹).

Congruence

Géométries euclidienne et non euclidiennes

Le cinquième axiome ou « postulat de parallèles » de la géométrie d'Euclide fonde la géométrie euclidienne :

Par un point extérieur à une droite, il passe toujours une parallèle à cette droite, et une seule.

Voir l'axiomatique de Hilbert ou les Éléments d'Euclide pour des énoncés plus complet de la géométrie euclidienne.

La réfutation de ce postulat a conduit à l'élaboration de deux géométries non euclidiennes : la géométrie hyperbolique par Gauss, Lobatchevski, Bolyai et la géométrie elliptique par Riemann.

Programme d'Erlangen

Dans la conception de Felix Klein (auteur du programme d'Erlangen), la géométrie est l'étude des espaces de points sur lesquels opèrent des groupes de transformations (appelées aussi symétries) et des quantités et des propriétés qui sont invariantes pour ces groupes. Le plan et la sphère, par exemple, sont l'un comme l'autre des espaces de dimension 2, homogènes (pas de point privilégié) et isotropes (pas de direction privilégiée), mais ils diffèrent par leurs groupes de symétrie (le groupe euclidien pour l'un, le groupe des rotations pour l'autre)¹⁰.

Parmi les transformations les plus connues, on retrouve les isométries, les similitudes, les rotations, les réflexions, les translations et les homothéties.

Il ne s'agit donc pas d'une discipline mais d'un important travail de synthèse qui a permis une vision claire des particularités de chaque géométrie. Ce programme caractérise donc plus la géométrie qu'il ne la fonde. Il eut un rôle médiateur dans le débat sur la nature des géométries non-euclidiennes et la controverse entre géométries analytique et synthétique.

Géométrie des groupes classiques

Il y a en géométrie différentielle et en géométrie algébrique des groupes de Lie et des groupes algébriques, qui eux ont des espaces homogènes, et la géométrie classique se ramène souvent à l'étude de ces espaces homogènes. Les géométries affine et projective sont liées aux groupes linéaires, et les géométries euclidienne, sphérique, elliptique et hyperbolique sont liées aux groupes orthogonaux.

Lorsqu'il y a des classifications explicites des groupes de Lie ou algébriques ou des leurs espaces homogènes vérifiant certaines hypothèses (groupes de Lie ou algébriques simples, espaces symétriques, variétés de drapeaux généralisées, espaces de courbure constante, par exemple), les principaux éléments de ces classifications sont parfois issus de la géométrie classique, et les groupes auxquels sont associés ces géométries classiques sont liés aux groupes dits classiques (groupes linéaires, orthogonaux, symplectiques, par exemple).

La plupart des géométries classiques sont liées aux groupes de Lie ou algébriques simples, dit classiques (ils sont issus de l'algèbre linéaire). Il y a d'autres groupes de Lie ou algébriques simples, et ils sont dits « exceptionnels » et ils donnent lieu à la géométrie exceptionnelle, avec certaines analogies avec la géométrie classique. Cette distinction est due au fait que les groupes simples sont (sous certaines hypothèses) classés en plusieurs séries infinies (souvent quatre) et en un nombre fini d'autres groupes (souvent cinq), et ce sont ces derniers groupes qui sont exceptionnels, et ils ne relèvent pas de l'algèbre linéaire (du moins pas de la même manière) : ils sont souvent liés à des structures algébriques non associatives (algèbres d'octonions, algèbres de Jordan exceptionnelles, par exemple).

Aux groupes de Lie ou algébriques simples sont associés des diagrammes de Dynkin (des sortes de graphes), et certaines propriétés de ces géométries peuvent se lire dans ces diagrammes.

Domaines de recherche relevant de la géométrie

Géométrie riemannienne

La géométrie riemannienne peut être vue comme une extension de la géométrie euclidienne. Son étude porte sur les propriétés géométriques d'espaces (variétés) présentant une notion de vecteurs tangents, et équipés d'une métrique (métrique riemannienne) permettant de mesurer ces vecteurs. Les premiers exemples rencontrés sont les surfaces de l'espace euclidien de dimension 3 dont les propriétés métriques ont été étudiées par Gauss dans les années 1820. Le produit euclidien induit une métrique sur la surface étudiée par restriction aux différents plans tangents. La définition intrinsèque de métrique fut formalisée en dimension supérieure par Riemann. La notion de transport parallèle autorise la comparaison des espaces tangents en deux points distincts de la variété : elle vise à transporter de manière cohérente un vecteur le long d'une courbe tracée sur la variété riemannienne. La courbure d'une variété riemannienne mesure par définition la dépendance éventuelle du transport parallèle d'un point à un autre par rapport à la courbe les reliant.

La métrique donne lieu à la définition de la longueur des courbes, d'où dérive la définition de la distance riemannienne. Mais les propriétés métriques des triangles peuvent différer de la trigonométrie euclidienne. Cette différence est en partie étudiée à travers le théorème de Toponogov, qui permet de comparer du moins localement la variété riemannienne étudiée à des espaces modèles, selon des inégalités supposées connues sur la courbure sectionnelle. Parmi les espaces modèles :

• l'espace euclidien est une variété riemannienne de courbure nulle ;
• la sphère de dimension n est une variété riemannienne de courbure positive constante 1 ;
• l'espace hyperbolique de dimension n est une variété riemannienne de courbure négative -1.

Géométrie complexe

La géométrie complexe porte sur les propriétés d'espaces pouvant localement s'identifier à C n {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} . Ces objets (variété complexe) présentent une certaine rigidité, découlant de l'unicité d'un prolongement analytique d'une fonction à plusieurs variables.

Géométries symplectique et de contact

La géométrie symplectique est une branche de la géométrie différentielle et peut être introduite comme une généralisation en dimension supérieure de la notion d'aire orientées rencontrée en dimension 2. Elle est liée aux formes bilinéaires alternées. Les objets de cette géométrie sont les variétés symplectiques, qui sont des variétés différentielles munie d'un champ de formes bilinéaires alternées. Par exemple, un espace affine attaché à un espace vectoriel muni d'une forme bilinéaire alternée non dégénérée est une variété symplectique.

La géométrie de contact est une branche de la géométrie différentielle qui étudie les variétés de contact, qui sont des variétés différentielles munies d'un champ d'hyperplans des espaces tangents vérifiant certaines propriétés. Par exemple, l'espace projectif déduit un espace vectoriel muni d'une forme bilinéaire alternée non dégénérée est une variété de contact.

Géométries discrète et convexe

Géométries algébrique et arithmétique

Géométrie non commutative

Applications de la géométrie

Longtemps, géométrie et astronomie ont été liées. À un niveau élémentaire, le calcul des tailles de la lune, du Soleil et de leurs distances respectives à la Terre fait appel au théorème de Thalès^{[réf. nécessaire]}. Dans les premiers modèles du système solaire, à chaque planète était associé un solide platonicien. Depuis les observations astronomiques de Kepler, confirmées par les travaux de Newton, il est prouvé que les planètes suivent une orbite elliptique dont le Soleil constitue un des foyers. De telles considérations de nature géométrique peuvent intervenir couramment en mécanique classique pour décrire qualitativement les trajectoires.

En ce sens, la géométrie intervient en ingénierie dans l'étude de la stabilité d'un système mécanique. Mais elle intervient encore plus naturellement dans le dessin industriel. Le dessin industriel montre les coupes ou les projections d'un objet tridimensionnel, et est annoté des longueurs et angles. C'est la première étape de la mise en place d'un projet de conception industrielle. Récemment, le mariage de la géométrie avec l'informatique a permis l'arrivée de la conception assistée par ordinateur (CAO), des calculs par éléments finis et de l'infographie.

La trigonométrie euclidienne intervient en optique pour traiter par exemple de la diffraction de la lumière. Elle est également à l'origine du développement de la navigation : navigation maritime aux étoiles (avec les sextants), cartographie, navigation aérienne (pilotage aux instruments à partir des signaux des balises).

Les nouvelles avancées en géométrie au XIX^e siècle trouvent des échos en physique. Il est souvent dit que la géométrie riemannienne a été initialement motivée par les interrogations de Gauss sur la cartographie de la Terre. Elle rend compte en particulier de la géométrie des surfaces dans l'espace. Une de ses extensions, la géométrie lorentzienne, a fourni le formalisme idéal pour formuler les lois de la relativité générale. La géométrie différentielle trouve de nouvelles applications dans la physique post-newtonienne avec la théorie des cordes ou des membranes.

La géométrie non commutative, inventée par Alain Connes, tend à s'imposer pour présenter les bonnes structures mathématiques avec lesquelles travailler pour mettre en place de nouvelles théories physiques.

Enseignement de la géométrie

La géométrie occupe une place privilégiée dans l'enseignement des mathématiques. De nombreuses études pédagogiques prouvent son intérêt^{[réf. souhaitée]} : elle permet aux élèves de développer une réflexion sur des problèmes, de visualiser des figures du plan et de l'espace, de rédiger des démonstrations, de déduire des résultats d'hypothèses énoncées. Mais plus encore, « le raisonnement géométrique est beaucoup plus riche que la simple déduction formelle », car il s'appuie sur l'intuition née de l'« observation des figures ».

Dans les années 1960, l'enseignement des mathématiques en France insistait sur la mise en pratique des problèmes relevant de la géométrie dans la vie courante. En particulier, le théorème de Pythagore était illustré par la règle du 3, 4, 5 et son utilisation en charpenterie¹¹. Les involutions, les divisions harmoniques, et les birapports étaient au programme du secondaire. Mais la réforme des mathématiques modernes, née aux États-Unis et adaptée en Europe, a conduit à réduire considérablement les connaissances enseignées en géométrie pour introduire de l'algèbre linéaire dans le second degré. Dans de nombreux pays, cette réforme fut fortement critiquée et désignée comme responsable d'échecs scolaires^{[réf. souhaitée]}. Un rapport de Jean-Pierre Kahane² dénonce le manque d'« une véritable réflexion didactique préalable » sur l'apport de la géométrie : en particulier, une « pratique de la géométrie vectorielle » prépare l'élève à une meilleure assimilation des notions formelles d'espace vectoriel, de forme bilinéaire…

L'utilisation des figures dans l'enseignement d'autres matières permet de mieux faire comprendre aux élèves les raisonnements exposés. N.B. En didactique des Mathématiques, on fait habituellement la différence entre les notions de « dessin » (réalisé avec des instruments comme règle, compas…), de « schéma » (réalisé à main levée et servant de support concret au raisonnement abstrait à effectuer) et de « figure » (objet géométrique abstrait sur lequel porte en définitive le raisonnement, et dont chacun possède sa propre représentation mentale : par exemple on peut avoir une représentation mentale différente, à une similitude près, de la « figure » triangle équilatéral). Avec ces distinctions, ce qui est représenté graphiquement évoquerait donc une « figure », mais n'en serait pas une.^{[réf. souhaitée]}.

Notes et références

• Fritz Reinhardt et Heinrich Soeder, Atlas des mathématiques, Livre de Poche, p. 13.
• Jean-Pierre Kahane (ed.), L'enseignement des sciences mathématiques : Commission de réflexion sur l'enseignement des mathématiques [détail des éditions], chap. 3, « La Géométrie ».
• Alain Michel, « Géométrisation de la théorie physique : sur la genèse d'un problème », dans Kouneiher & al.
• Jean-Jacques Szczeciniarz, « Philosophie et géométrie : la montée de la géométrie, ses effets philosophiques », dans Kouneiher & al.
• Gerhard Heinzmann, « La géométrie et le principe d'idonéité : une relecture de Ferdinand Gonseth », dans Kouneiher & al.
• Mueller-Jourdan 2007, p. 73
• Henri Poincaré, La Science et l'Hypothèse, Champs Flammarion, 1902.
• jusqu'à une certaine limite car certaines géométries n'entrent pas dans ce cadre.
• Dans une certaine mesure et grossièrement, cela permet également de distinguer A O B ^ {\displaystyle \scriptstyle {\widehat {AOB}}} de B O A ^ {\displaystyle \scriptstyle {\widehat {BOA}}}  ; l'intérieur de l'extérieur.
• Jean-Pierre Provost et Gérard Vallée, Les maths en physique : La physique à travers le filtre des mathématiques, Paris, Éditions Dunod, coll. « Sciences Sup », mars 2004, 1^re éd., 331 p. (ISBN 2-10-004652-7), p. 51.

Voir aussi

Bibliographie

• Charles Mugler, « Sur l’Histoire de quelques définitions de la géométrie grecque et les rapports entre la géométrie et l’optique (Première Partie) », L’Antiquité classique, vol. 26, n^o 2,‎ 1957, p. 331-345 (lire en ligne [archive], consulté le 28 janvier 2020).
• Charles Mugler, « Sur l’Histoire de quelques définitions de la géométrie grecque et les rapports entre la géométrie et l’optique (Suite) », L’Antiquité classique, vol. 27, n^o 1,‎ 1958, p. 76-91 (lire en ligne [archive], consulté le 28 janvier 2020)
• Pascal Mueller-Jourdan, Une initiation à la philosophie de l'antiquité tardive : les leçons du Pseudo-Elias, Fribourg/Paris, Éditions du Cerf, 2007, 143 p. (ISBN 978-2-204-08571-7). 
• Nikolai I. Lobachevsky, Pangeometry, traduction et édition: A. Papadopoulos, Heritage of European Mathematics Series, Vol. 4, European Mathematical Society, 2010.
• Jean-Paul Collette, Histoire des mathématiques, vol. 2, Vuibert, 1979 (ISBN 2-7613-0118-8), chapitre 10 : Le renouvellement de la géométrie au XIX^e siècle.
• A. Dahan-Dalmedico et J. Peiffer, Une histoire des mathématiques : Routes et dédales, 1986 [détail des éditions]
• Joseph Kouneiher, Dominique Flament, Philippe Nabonnand et Jean-Jacques Szczeciniarz (dir.), Géométrie au XX^e siècle : histoire et horizons [[[Référence:Géométrie au XX^e siècle : histoire et horizons (Joseph Kouneiher, Dominique Flament, Philippe Nabonnand, Jean-Jacques Szczeciniarz, dir.)|détail des éditions]]]

Liens connexes

• (376) Geometria, astéroïde

Liens externes

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Algèbre

 

Le mot « algèbre » est dérivé du titre d’un ouvrage rédigé vers 825, Kitāb al-mukhtaṣar fī ḥisāb al-jabr wa-l-muqābala (« Abrégé du calcul par la restauration et la comparaison »), du mathématicien d'origine persane Al-Khwarizmi. Ce livre avait des objectifs pratiques : le calcul d’héritage, l'arpentage, les échanges commerciaux, etc.¹, et s'inscrivait dans l'époque d'essor des sciences et techniques islamiques.

Le mot arabe al-jabr (الجبر) signifie « réduction d'une fracture », « réunion (des morceaux) », « reconstruction », « connexion », « restauration », reboutement. Dans le contexte mathématique, il désigne la transformation d'une équation par ajout d'un terme. En langage actuel, par exemple, on peut transformer a x − b = c {\displaystyle ax-b=c} , en ajoutant la quantité b aux deux membres de l'équation pour n'avoir que des termes positifs : a x = c + b {\displaystyle ax=c+b} .

Il est à l’origine du mot latin algebra qui a donné « algèbre » en français. En espagnol, le mot algebrista² désigne aussi bien celui qui pratique le calcul algébrique que le rebouteux (celui qui sait réduire les fractures).

Histoire

Antiquité

Dès l'Antiquité égyptienne ou babylonienne, les scribes disposaient de procédures pour trouver une quantité inconnue soumise à certaines conditions. Ainsi, les anciens Babyloniens et Égyptiens savaient déjà résoudre des problèmes qui peuvent être traduits en équations du premier ou second degré. Les Babyloniens utilisaient également la technique des algorithmes³, et cela bien avant Euclide.

Par exemple, le papyrus Rhind (conservé au British Museum de Londres, il date de 1650 av. J.-C.) comporte l'énoncé suivant :

« On doit diviser 100 miches de pain entre dix hommes comprenant un navigateur, un contremaître et un gardien, tous trois recevant double part. Que faut-il donner à chacun ? »

Dans un autre exemple⁴, un problème babylonien demande le côté d'un carré tel qu'on obtienne 870 en soustrayant ce côté de l'aire du carré. Traduit en termes algébriques cela revient à résoudre l'équation du second degré suivante : x 2 − x = 870 {\displaystyle x^{2}-x=870} , où « x » désigne le côté cherché.

Au III^e siècle de l'ère chrétienne, Diophante d'Alexandrie pratique une forme d'algèbre pré-symbolique^{n 2}, en introduisant une inconnue sur laquelle il opère des calculs.

La mathématique grecque appelait « analyse » la méthode qui consiste à nommer une inconnue et à la manipuler afin de remonter à partir des conditions imposées par l'exercice jusqu'à l'identification des propriétés de l'inconnue qui alors peut être déterminée et devient connue.

Monde arabo-musulman

Dans le livre Kitāb al-mukhtaṣar fī ḥisāb al-jabr wa-l-muqābala (« Abrégé du calcul par la restauration et la comparaison ») du mathématicien Al-Khwarizmi, écrit à Bagdad, sous le règne d'Al-Ma’mūn (813-833), une large proportion des méthodes utilisées sont issues de résultats élémentaires de géométrie. Pour cette raison, on classe souvent ces premiers résultats dans la branche de l'algèbre géométrique.

L'innovation majeure fut l'introduction du concept d'« équation »⁶. Il s'agissait d'une égalité entre deux expressions mathématiques comportant dans leurs termes des nombres connus et une quantité inconnue. Une telle égalité était la traduction en langage mathématique des conditions imposées par le problème pour découvrir l'inconnue. Par exemple : « quel est le carré qui combiné avec dix de ses racines, donne une somme égale à 39 ? », problème que nous traduirons en algèbre contemporaine (il s'agit plus précisément d'une « transcription » et non d'une traduction, car la notation en exposants numériques ne commence qu'avec Descartes) sous la forme : x 2 + 10 x = 39 {\displaystyle x^{2}+10x=39} , en notant « x » la racine inconnue du carré. Des symboles spéciaux sont créés pour désigner carré, cube, racine carrée, racine cubique : la notion d'exposant numérique, même simplement entier, n'émerge pas encore⁷.

La légende attribue parfois à Léonard de Pise dit Fibonacci l'importation des chiffres dits arabes qu'il aurait découverts lors d'un voyage en Afrique. C'est oublier que Gerbert d'Aurillac, qui les avait étudiés à Cordoue, avait entrepris de les imposer à la chrétienté une fois devenu pape de l'an Mil sous le nom de Sylvestre II. C'est cependant le livre de Fibonacci Liber abaci^{n 3} , qui définira la fameuse suite de Fibonacci et contribuera à populariser l'usage des chiffres arabes et du système décimal en Europe⁹.

XVI^e et XVII^e siècles en Europe

Le pape Gerbert d'Aurillac avait ramené d'Espagne vers l'an 1000 le zéro, invention indienne que les mathématiciens Al-Khwarizmi et Abu Kamil avaient eux-mêmes fait connaître dans tout l'Empire, et aussi à Cordoue.

Cette numération de position complète bien le calcul algébrique, d'abord au moyen des algorithmes (terme dérivant de « Al-Khwarizmi »¹⁰, mais procédé déjà utilisé dans l'algorithme d'Euclide), qui remplacent peu à peu l'usage de l'abaque. Les mathématiciens italiens du XVI^e siècle (del Ferro, Tartaglia et Cardan) résolvent l'équation du 3^e degré (ou équation cubique). Ferrari, élève de Cardan, résout l'équation du 4^e degré (ou équation quartique), et la méthode est perfectionnée par Bombelli. À la fin du siècle, le Français Viète découvre que les fonctions symétriques des racines sont liées aux coefficients de l'équation polynomiale.

Jusqu'au XVII^e siècle, l'algèbre peut être globalement caractérisée comme la suite ou le début des équations et comme une extension de l'arithmétique ; elle consiste principalement en l'étude de la résolution des équations algébriques, et la codification progressive des opérations symboliques permettant cette résolution. François Viète (1540-1603), « considéré comme le fondateur de notre langage algébrique », innove en notant les inconnues et les indéterminées à l'aide de lettres¹¹.

Alors que chez Viète les puissances étaient notées avec des mots latins¹¹, René Descartes les note sous forme d'exposants et c'est cette écriture qui s'impose¹¹. À peu de chose près nous avons conservé les notations littérales de Descartes qui constituent un véritable symbolisme algébrique. Le terme « algèbre » devient alors synonyme de « calcul littéral ». René Descartes et Pierre de Fermat introduisent également ce que l'on appelle toujours dans les collèges et les lycées la « géométrie analytique », autrement dit la géométrie des coordonnées : les courbes et les surfaces sont représentées par des équations que l'on manipule au moyen de l'algèbre.

Les mathématiciens commencent, aussi à cette époque, progressivement à utiliser des nombres « imaginaires » pour calculer les racines de leurs équations, parfois même quand ces dernières sont bien réelles^{n 4}.

XVIII^e et XIX^e siècles en Europe

Une étape décisive fut franchie avec l'écriture des exposants fractionnaires, puis rapidement réels et imaginaires. Ceux-ci permettront à Euler d'énoncer sa célèbre formule e i π + 1 = 0 {\displaystyle e^{i\pi }+1=0} liant cinq nombres remarquables. Par ces exposants imaginaires s’opère la jonction sans couture du monde algébrique et du monde trigonométrique.

Prendre en compte les solutions des équations qui sont des nombres complexes amène d'Alembert à énoncer (en 1746) et Gauss à démontrer (en 1799) le théorème fondamental de l'algèbre :

Sous sa forme moderne, le théorème s'énonce :

Le XIX^e siècle s'intéresse désormais à la calculabilité des racines, et en particulier à la possibilité de les exprimer par des formules générales à base de radicaux. Les échecs concernant les équations de degré 5 amènent le mathématicien Abel (après Vandermonde, Lagrange et Gauss) à approfondir les transformations sur l'ensemble des racines d'une équation. Évariste Galois (1811 - 1832), dans un mémoire fulgurant, étudie le groupe des permutations des racines d'une équation polynomiale et aboutit à l'impossibilité de la résolution par radicaux pour les équations de degré supérieur ou égal à 5.

Dès lors, on s'est mis à calculer sur des objets qui ne sont plus forcément des nombres. L'algèbre moderne entame un parcours fécond : Boole crée l'algèbre qui porte son nom, Hamilton invente les quaternions, et les mathématiciens anglais Cayley, Hamilton et Sylvester étudient les structures de matrices. L'algèbre linéaire, longtemps restreinte à la résolution de systèmes d'équations linéaires à 2 ou 3 inconnues, prend son essor avec le théorème de Cayley-Hamilton (« Toute matrice carrée à coefficients dans R {\displaystyle \mathbb {R} } ou C {\displaystyle \mathbb {C} } annule son polynôme caractéristique »). S'ensuivent les transformations par changement de base, la diagonalisation et la trigonalisation des matrices, et les méthodes de calcul qui nourriront, au XX^e siècle, la programmation des ordinateurs. Dedekind définit les idéaux (déjà présents plus qu'en germe dans la notion de nombre complexe idéal introduite par Kummer¹²), qui permettront de généraliser et de reformuler les grands théorèmes d'arithmétique. L'algèbre linéaire se généralise en algèbre multilinéaire et algèbre tensorielle.

XX^e siècle : algèbre moderne

Au début du XX^e siècle, sous l'impulsion de l'Allemand Hilbert et du Français Poincaré, les mathématiciens s'interrogent sur les fondements des mathématiques : logique et axiomatisation occupent le devant de la scène. Peano axiomatise l'arithmétique, puis les espaces vectoriels. La structure d'espace vectoriel et la structure d'algèbre sont approfondies par Artin en 1925, avec des corps de base autres que   R {\displaystyle \ _{\mathbb {R} }} ou   C {\displaystyle \ _{\mathbb {C} }} et des opérateurs toujours plus abstraits. On doit aussi à Artin, considéré comme le père de l'algèbre contemporaine, des résultats fondamentaux sur les corps de nombres algébriques. Les corps non commutatifs amènent à définir la structure de module sur un anneau et la généralisation des résultats classiques sur les espaces vectoriels.

L'école française « Nicolas Bourbaki », emmenée par Weil, Cartan et Dieudonné, entreprend de réécrire l'ensemble des connaissances mathématiques sur une base axiomatique : ce travail gigantesque commence par la théorie des ensembles et l'algèbre dans le milieu du siècle, et confirme l'algèbre comme langage universel des mathématiques. Paradoxalement, alors que le nombre de publications suit une croissance exponentielle à travers le monde, alors qu'aucun mathématicien ne peut prétendre dominer qu'une toute petite partie des connaissances, les mathématiques n'ont jamais autant paru unifiées qu'aujourd'hui.

L'étude de ces structures peut être faite de manière unifiée dans le cadre de l'algèbre universelle.

Épistémologie

L'étude épistémologique de l'algèbre a été introduite par Jules Vuillemin.

Histoire des notations européennes modernes

• Les symboles + et - apparaissent en 1489 dans l'ouvrage Arithmétique de John Widmann (Leipzig) ;
• Le signe = apparaît en 1557 chez Robert Recorde « parce que deux choses ne sauraient être plus égales que deux lignes parallèles » ;
• Les signes < et > apparaissent en 1610 chez Thomas Harriot (1560-1621) ;
• William Oughtred (1574-1660) introduit le signe de la multiplication × dans son Clavis Mathematica (1631). Il introduit aussi les termes de sinus, cosinus et tangente ;
• Le symbole x {\displaystyle x} pour représenter l'inconnue d'une équation est utilisé pour la première fois par Descartes¹³ ;
• Les exposants numériques apparaissent également avec Descartes. On utilisait auparavant des signes spéciaux pour les carrés et les cubes ainsi que les racines carrées ou cubiques ;
• Le signe de la division / est utilisé par Johann Heinrich Rahn en 1659 et introduit en Angleterre par John Pell en 1668.

Domaines connexes

Par extension, on attribue aussi le qualificatif d’« algébrique » à d’autres parties des mathématiques dont les objets ou les méthodes relèvent de l’algèbre.

• La géométrie algébrique est la partie de la géométrie qui étudie des courbes ou des variétés algébriques, c’est-à-dire des courbes ou des variétés définies par des équations polynomiales, avec des techniques elles-mêmes souvent issues de l’algèbre.
• La topologie algébrique applique les outils de l'algèbre à l'étude des espaces topologiques, en cherchant à associer de manière naturelle des invariants algébriques aux structures topologiques associées.
• L'analyse algébrique est une branche des mathématiques fondée sur les idées d'Alexandre Grothendieck, puis développée par Mikio Satō, qui utilise notamment les préfaisceaux et l'analyse complexe pour étudier les propriétés des hyperfonctions.

Notes et références

Notes

• Par l'analyse, les exposants complexes effectuent la fusion entre algèbre et trigonométrie.
• Par rapport à l'algebre de Viète⁵.
• Ouvrage dans lequel il se « [réfère] plusieurs fois aux contenus des livres d'algèbre d'al-Khwârizmî et d'Abû-Kâmil⁸. »

Références

• Georges C. Anawati, Roshdi Rashed, « Islam (La civilisation islamique) Les mathématiques et les autres sciences : 1. L'algèbre » [archive], sur Encyclopædia universalis (consulté le 18 mars 2015)
• Diccionario de la lengua española [archive] de la Real Academia Española
• http://undergraduate.csse.uwa.edu.au/units/CITS1001/extension/ancient-babylonian-algorithms.pdf [archive]
• « Systèmes de numération : du concret à l'abstrait » [archive] [PDF], sur cll.qc.ca, 18 mai 2004, p. 6
• Luis Radford, « Diophante et l'algèbre pré-symbolique », Bulletin de l'Association des Mathématiques du Québec,‎ 1992, p. 80 (lire en ligne [archive]).
• Salah Ould Moulaye Ahmed, L'apport scientifique arabe à travers les grandes figures de l'époque classique, Paris, UNESCO, coll. « Histoire plurielle », 2004, 274 p. (ISBN 978-92-3-203975-0, BNF 39289490, lire en ligne [archive]), p. 103.
• Encyclopédie Time-Life Le Monde des Sciences, volume Les Mathématiques
• Ahmed Djebbar, « La phase arabe de l'algèbre (IX^e-XV^e S.) », dans Dorier J.-L., Coutat S., Enseignement des mathématiques et contrat social : enjeux et défis pour le 21^e siècle - Actes du colloque EMF, Genève, Université de Genève, 2012 (ISBN 978-2-8399-1115-3, lire en ligne [archive]), p. 611.
• Salah, p. 102.
• Voir l'étymologie du terme algorithme dans le tlfi [archive].
• Hans Freudenthal, « Notation mathématique : 2. Le formalisme algébrique - Les lettres » [archive], sur l'Encyclopædia universalis (consulté le 7 mars 2015).
• Ernst Kummer, « Zur Theorie der complexen Zahlen », Journal für die reine und angewandte Mathematik 35, 319-326 (1847), reproduit dans Ernst Eduard Kummer, Collected Papers, Volume I, Springer, 1975, p. 203-210 : « einer eigenthümlichen Art imaginärer Divisoren, welche ich ideale complexe Zahlen nenne ». Voir l'introduction d'André Weil au volume de 1975, p. 5 et 10.

Voir aussi

Article connexe

• Chronologie de l'algèbre

Bibliographie

• (en) Isabella Bashmakova et A. N. Rudakov, « Algebra and Algebraic Number Theory », dans A. N. Kolmogorov (dir.) et A. P. Yushkevich (dir.), Mathematics of the 19th century, vol. 1 : Mathematical logic, algebra, number theory, probability theory, Birkhäuser, 1992 (DOI 10.1007/978-3-0348-5112-1_2), p. 35-135
• (en) Isabella Bashmakova et Galina Smirnova (trad. Abe Shenitzer), The Beginnings and Evolution of Algebra, MAA, coll. « Dolciani mathematical expositions » (n^o 23), 2000 (ISBN 0-88385-329-9, présentation en ligne [archive])
• Nicolas Bourbaki, Éléments d'histoire des mathématiques [détail des éditions]
• Ahmed Djebbar (préf. Bernard Maitte), L'algèbre arabe, genèse d'un art, Vuibert/Adapt, 2005, 214 p. (ISBN 2711753816) — Tour d'horizon de l'algèbre arabe, des origines au XV^e siècle.
• (en) Jeremy J. Gray (dir.) et Karen Parshall (dir.), Episodes in the History of Modern Algebra (1800–1950), American Mathematical Society, coll. « HMATH » (n^o 32), 2007 (ISBN 978-0-8218-4343-7)
• Jens Høyrup, L'algèbre au temps de Babylone : quand les mathématiques s'écrivaient sur de l'argile, Vuibert, 2010 (ISBN 978-2-311-00001-6)
• (en) Victor J. Katz et Karen Parshall, Taming the Unknown : A History of algebra from antiquity to early twentieth century, Princeton University Press, 2014 (ISBN 978-0-691-14905-9)
• Roshdi Rashed, Entre arithmétique et algèbre : recherches sur l'histoire des mathématiques arabes, Les Belles lettres, 1984 (ISBN 2251355316)
• Jacques Sesiano, Une introduction à l'histoire de l'algèbre : résolution des équations des Mésopotamiens à la Renaissance, Presses polytechniques et universitaires romandes, 1999 (ISBN 978-2-88074-394-9)
• Jules Vuillemin, La philosophie de l'algèbre, PUF, 1^re éd. 1962, 2^e éd. 1993.
• Adolf P. Youschkevitch, Les Mathématiques Arabes, VIII^e – XV^e siècles, Vrin, 1976

Liens externes

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• Ressource relative à la recherche

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  • (en) Stanford Encyclopedia of Philosophy
• (en) John J. O'Connor et Edmund F. Robertson, « History Topics: Algebra Index », dans MacTutor History of Mathematics archive, université de St Andrews (lire en ligne [archive]).
• Mazths-et-tiques : Histoire de l'algèbre [archive]
• Les mathématiques.net [archive] : références et cours en ligne

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